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Corrigé — Épreuve de Mathématiques
BEPC — Session 2022 — Toutes spécialités — Coefficient 4
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🔑 Légende
Réponse / solution rédigée
Rappel de cours (formule ou propriété utilisée)
Remarque / vérification
Point de vigilance (erreur fréquente à éviter)
X pt Barème indicatif de la question
PARTIE A — Évaluation des ressources (10 points)
Activités numériques — Exercice 1 2 pts
★ Méthode
Dans un calcul avec fractions, on respecte les priorités opératoires : d’abord les multiplications/divisions, puis les additions à l’intérieur des parenthèses, et on réduit au même dénominateur pour additionner.
Dans un calcul avec fractions, on respecte les priorités opératoires : d’abord les multiplications/divisions, puis les additions à l’intérieur des parenthèses, et on réduit au même dénominateur pour additionner.
1) Calculer \(A=\dfrac23\times\dfrac63+\left(\dfrac23+\dfrac65\right)\) et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
\(\dfrac23\times\dfrac63=\dfrac23\times2=\dfrac43\)
\(\dfrac23+\dfrac65=\dfrac{10}{15}+\dfrac{18}{15}=\dfrac{28}{15}\)
\(A=\dfrac43+\dfrac{28}{15}=\dfrac{20}{15}+\dfrac{28}{15}=\dfrac{48}{15}\)
En simplifiant par 3 (PGCD(48,15)=3) : \(A=\dfrac{16}{5}\)
Réponse : \(A=\dfrac{16}{5}\)
\(\dfrac23+\dfrac65=\dfrac{10}{15}+\dfrac{18}{15}=\dfrac{28}{15}\)
\(A=\dfrac43+\dfrac{28}{15}=\dfrac{20}{15}+\dfrac{28}{15}=\dfrac{48}{15}\)
En simplifiant par 3 (PGCD(48,15)=3) : \(A=\dfrac{16}{5}\)
Réponse : \(A=\dfrac{16}{5}\)
★ Méthode
Pour supprimer un radical au dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par l’expression conjuguée, en utilisant l’identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
Pour supprimer un radical au dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par l’expression conjuguée, en utilisant l’identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
2a) Écrire \(B=\dfrac{2}{2-\sqrt3}\) sans radical au dénominateur.
\(B=\dfrac{2}{2-\sqrt3}=\dfrac{2(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\dfrac{2(2+\sqrt3)}{4-3}=2(2+\sqrt3)\)
Réponse : \(B=4+2\sqrt3\)
Réponse : \(B=4+2\sqrt3\)
2b) Sachant que \(1{,}732<\sqrt3<1{,}733\), donner un encadrement d’ordre 2 de \(4+2\sqrt3\).
On multiplie chaque membre par 2 : \(3{,}464<2\sqrt3<3{,}466\)
On ajoute 4 : \(7{,}464<4+2\sqrt3<7{,}466\)
En encadrement d’ordre 2 (à 10⁻² près) : \(7{,}46<4+2\sqrt3<7{,}47\)
On ajoute 4 : \(7{,}464<4+2\sqrt3<7{,}466\)
En encadrement d’ordre 2 (à 10⁻² près) : \(7{,}46<4+2\sqrt3<7{,}47\)
Exercice 2 1,25 pt
★ Méthode
Pour factoriser une expression, on repère un facteur commun. Ici \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\) est une identité remarquable, ce qui fait apparaître \((2x-3)\) comme facteur commun dans les trois termes.
Pour factoriser une expression, on repère un facteur commun. Ici \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\) est une identité remarquable, ce qui fait apparaître \((2x-3)\) comme facteur commun dans les trois termes.
1) Écrire \(C=4x^2-9-(2x-3)(3x-4)+(2x+1)(2x-3)\) sous forme d’un produit de facteurs du premier degré.
\(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\), donc :
\(C=(2x-3)(2x+3)-(2x-3)(3x-4)+(2x-3)(2x+1)\)
\(C=(2x-3)\big[(2x+3)-(3x-4)+(2x+1)\big]\)
\(C=(2x-3)(2x+3-3x+4+2x+1)=(2x-3)(x+8)\)
Réponse : \(C=(x+8)(2x-3)\)
\(C=(2x-3)(2x+3)-(2x-3)(3x-4)+(2x-3)(2x+1)\)
\(C=(2x-3)\big[(2x+3)-(3x-4)+(2x+1)\big]\)
\(C=(2x-3)(2x+3-3x+4+2x+1)=(2x-3)(x+8)\)
Réponse : \(C=(x+8)(2x-3)\)
2) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((x+8)(2x-3)=0\)
Un produit de facteurs est nul si l’un au moins des facteurs est nul :
\(x+8=0 \Rightarrow x=-8\) ou \(2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac32\)
\(S_{\mathbb{R}}=\left\{-8\ ;\ \dfrac32\right\}\)
\(x+8=0 \Rightarrow x=-8\) ou \(2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac32\)
\(S_{\mathbb{R}}=\left\{-8\ ;\ \dfrac32\right\}\)
Exercice 3 1,75 pt
★ Méthode
Le centre d’une classe [a;b[ est la demi-somme des bornes : \(\frac{a+b}{2}\). La classe modale est la classe qui a le plus grand effectif. La moyenne pondérée se calcule par \(\bar x=\dfrac{\sum (\text{centre}\times\text{effectif})}{\text{effectif total}}\).
Le centre d’une classe [a;b[ est la demi-somme des bornes : \(\frac{a+b}{2}\). La classe modale est la classe qui a le plus grand effectif. La moyenne pondérée se calcule par \(\bar x=\dfrac{\sum (\text{centre}\times\text{effectif})}{\text{effectif total}}\).
1) Reproduire et compléter le tableau
Effectif manquant de [5;10[ : \(50-17-12-10=11\)
Centre de [5;10[ : \(\frac{5+10}{2}=7{,}5\) — Centre de [15;20[ : \(\frac{15+20}{2}=17{,}5\)
Centre de [5;10[ : \(\frac{5+10}{2}=7{,}5\) — Centre de [15;20[ : \(\frac{15+20}{2}=17{,}5\)
| Notes | [0;5[ | [5;10[ | [10;15[ | [15;20[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 17 | 11 | 12 | 10 | 50 |
| Centres | 2,5 | 7,5 | 12,5 | 17,5 | / |
2) Classe modale
L’effectif le plus élevé est 17, atteint sur [0;5[.
Classe modale : [0 ; 5[
Classe modale : [0 ; 5[
3) Moyenne des notes
\(\bar x=\dfrac{2{,}5\times17+7{,}5\times11+12{,}5\times12+17{,}5\times10}{50}=\dfrac{42{,}5+82{,}5+150+175}{50}=\dfrac{450}{50}=9\)
Réponse : c) 9
Réponse : c) 9
Activités géométriques — Exercice 1 2,25 pts
★ Méthode
Aire d’un trapèze : \(\mathcal{A}=\dfrac{(\text{grande base}+\text{petite base})\times \text{hauteur}}{2}\). Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Tangente d’un angle aigu : \(\tan(\widehat{\text{angle}})=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\).
Aire d’un trapèze : \(\mathcal{A}=\dfrac{(\text{grande base}+\text{petite base})\times \text{hauteur}}{2}\). Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Tangente d’un angle aigu : \(\tan(\widehat{\text{angle}})=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\).
1a) Montrer que DC = 80 m
ABCD est un trapèze rectangle en A et D, donc AD est la hauteur du trapèze et (AB) // (DC).
\(\mathcal{A}_{ABCD}=\dfrac{(AB+DC)\times AD}{2}\ \Rightarrow\ DC=\dfrac{2\mathcal{A}}{AD}-AB=\dfrac{2\times2600}{40}-50=130-50=80\)
DC = 80 m
\(\mathcal{A}_{ABCD}=\dfrac{(AB+DC)\times AD}{2}\ \Rightarrow\ DC=\dfrac{2\mathcal{A}}{AD}-AB=\dfrac{2\times2600}{40}-50=130-50=80\)
DC = 80 m
1b) En déduire que HC = 30 m
H est le pied de la hauteur issue de B sur (DC), donc ABHD est un rectangle et DH = AB = 50 m.
\(DC=DH+HC \Rightarrow HC=DC-DH=80-50=30\)
HC = 30 m
\(DC=DH+HC \Rightarrow HC=DC-DH=80-50=30\)
HC = 30 m
2) Calculer BC
Le triangle BHC est rectangle en H, donc d’après le théorème de Pythagore :
\(BC^2=BH^2+HC^2\) avec BH = AD = 40 m
\(BC^2=40^2+30^2=1600+900=2500 \Rightarrow BC=\sqrt{2500}=50\)
BC = 50 m
\(BC^2=BH^2+HC^2\) avec BH = AD = 40 m
\(BC^2=40^2+30^2=1600+900=2500 \Rightarrow BC=\sqrt{2500}=50\)
BC = 50 m
3) Calculer \(\tan(\widehat{DCB})\) et l’arrondi de la mesure de l’angle
\(\tan(\widehat{DCB})=\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{40}{30}\approx1{,}33\)
\(\widehat{DCB}=\tan^{-1}(1{,}33)\approx53{,}13°\)
\(\widehat{DCB}\approx 53°\) (à 1° près)
\(\widehat{DCB}=\tan^{-1}(1{,}33)\approx53{,}13°\)
\(\widehat{DCB}\approx 53°\) (à 1° près)
4) Image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BH}\)
ABHD est un rectangle, donc \(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AD}\). Or l’image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AD}\) est le point D.
L’image de A est le point D.
L’image de A est le point D.
Exercice 2 2,75 pts
★ Méthode
Deux vecteurs \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x’;y’)\) sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : \(\vec u\cdot\vec v=xx’+yy’=0\). La norme d’un vecteur \(\vec u(x;y)\) est \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
Deux vecteurs \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x’;y’)\) sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : \(\vec u\cdot\vec v=xx’+yy’=0\). La norme d’un vecteur \(\vec u(x;y)\) est \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
1a) Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), et orthogonalité — A(-1;1), B(-3;3), C(1;3)
\(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)=(-2\ ;\ 2)\)
\(\overrightarrow{AC}(x_C-x_A\ ;\ y_C-y_A)=(2\ ;\ 2)\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2)(2)+(2)(2)=-4+4=0\)
Le produit scalaire est nul, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux.
\(\overrightarrow{AC}(x_C-x_A\ ;\ y_C-y_A)=(2\ ;\ 2)\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2)(2)+(2)(2)=-4+4=0\)
Le produit scalaire est nul, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux.
1b) Distances AB et AC
\(AB=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2\)
\(AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2\)
AB = AC = \(2\sqrt2\)
\(AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2\)
AB = AC = \(2\sqrt2\)
1c) Nature exacte du triangle ABC
\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux (angle droit en A) et AB = AC (isocèle en A).
ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
2) Association droite / équation
(D1) passe par A(-1;1) et C(1;3) : coefficient directeur \(=\frac{3-1}{1-(-1)}=1\), équation \(y=x+2\)
(D2) passe par A(-1;1) et B(-3;3) : coefficient directeur \(=\frac{3-1}{-3-(-1)}=-1\), équation \(y=-x\)
(D3) passe par B(-3;3) et C(1;3) : ordonnées constantes = 3, équation \(y=3\)
(D2) passe par A(-1;1) et B(-3;3) : coefficient directeur \(=\frac{3-1}{-3-(-1)}=-1\), équation \(y=-x\)
(D3) passe par B(-3;3) et C(1;3) : ordonnées constantes = 3, équation \(y=3\)
| Équation | y = 3 | y = x+2 | y = −x |
|---|---|---|---|
| Droite | D3 | D1 | D2 |
3) Ensemble solution du système \(\begin{cases}x-y+2>0\\x+y<0\end{cases}\)
\(x-y+2>0 \iff y<x+2\) : demi-plan sous la droite (D1) (y=x+2).
\(x+y<0 \iff y<-x\) : demi-plan sous la droite (D2) (y=-x).
L’ensemble solution est l’intersection des deux demi-plans : la région du plan strictement en dessous à la fois de (D1) et de (D2) (à hachurer sur la figure reproduite).
\(x+y<0 \iff y<-x\) : demi-plan sous la droite (D2) (y=-x).
L’ensemble solution est l’intersection des deux demi-plans : la région du plan strictement en dessous à la fois de (D1) et de (D2) (à hachurer sur la figure reproduite).
PARTIE B — Évaluation des compétences (10 points)
Situation : camion-citerne, réservoir d’eau et bornes kilométriques π = 3,14
★ Méthode — Volumes
Cylindre : \(V=\pi r^2h\) | Sphère : \(V=\dfrac43\pi r^3\) | Cône : \(V=\dfrac13\pi r^2h\) | Pavé droit : \(V=L\times l\times h\) | Demi-cylindre : \(V=\dfrac12\pi r^2h\) (la moitié du cylindre complet).
Cylindre : \(V=\pi r^2h\) | Sphère : \(V=\dfrac43\pi r^3\) | Cône : \(V=\dfrac13\pi r^2h\) | Pavé droit : \(V=L\times l\times h\) | Demi-cylindre : \(V=\dfrac12\pi r^2h\) (la moitié du cylindre complet).
Tâche 1) Nombre maximum de cuves de carburant pleines 3 pts
La citerne = un cylindre (rayon 1 m, hauteur AB = 8 m) + deux demi-sphères de rayon 1 m (soit l’équivalent d’une sphère complète).
\(V_{cylindre}=\pi r^2h=3{,}14\times1^2\times8=25{,}12\ m^3\)
\(V_{sphère}=\dfrac43\pi r^3=\dfrac43\times3{,}14\times1\approx4{,}187\ m^3\)
\(V_{citerne}=25{,}12+4{,}187=29{,}307\ m^3=29\,306{,}7\ litres\)
Nombre de cuves de 1000 L : \(\dfrac{29\,306{,}7}{1000}=29{,}3067\)
Nombre maximal de cuves pleines : 29
\(V_{cylindre}=\pi r^2h=3{,}14\times1^2\times8=25{,}12\ m^3\)
\(V_{sphère}=\dfrac43\pi r^3=\dfrac43\times3{,}14\times1\approx4{,}187\ m^3\)
\(V_{citerne}=25{,}12+4{,}187=29{,}307\ m^3=29\,306{,}7\ litres\)
Nombre de cuves de 1000 L : \(\dfrac{29\,306{,}7}{1000}=29{,}3067\)
Nombre maximal de cuves pleines : 29
⚠️ Point de vigilance : on arrondit ici par défaut (29, et non 30), car il s’agit du nombre de cuves entièrement pleines — le volume restant (≈307 L) ne suffit pas à remplir une 30ᵉ cuve.
Tâche 2) Nombre maximum de seaux d’eau pleins 3 pts
Le réservoir = un cylindre (rayon 1 m, hauteur H = 2,5 m) + un cône (rayon 1 m, hauteur h = 1,5 m).
\(V_{cylindre}=3{,}14\times1^2\times2{,}5=7{,}85\ m^3\)
\(V_{cône}=\dfrac13\times3{,}14\times1^2\times1{,}5=1{,}57\ m^3\)
\(V_{réservoir}=7{,}85+1{,}57=9{,}42\ m^3=9\,420\ litres\)
Nombre de seaux de 10 L : \(\dfrac{9\,420}{10}=942\)
Nombre maximal de seaux pleins : 942
\(V_{cylindre}=3{,}14\times1^2\times2{,}5=7{,}85\ m^3\)
\(V_{cône}=\dfrac13\times3{,}14\times1^2\times1{,}5=1{,}57\ m^3\)
\(V_{réservoir}=7{,}85+1{,}57=9{,}42\ m^3=9\,420\ litres\)
Nombre de seaux de 10 L : \(\dfrac{9\,420}{10}=942\)
Nombre maximal de seaux pleins : 942
Tâche 3) Nombre maximum de bornes kilométriques 3 pts
Chaque borne = un pavé droit (0,2 m × 0,4 m × 0,5 m) surmonté d’un demi-cylindre (rayon 0,2 m, hauteur/longueur 0,2 m).
\(V_{pavé}=0{,}2\times0{,}4\times0{,}5=0{,}04\ m^3\)
\(V_{demi\text{-}cylindre}=\dfrac12\times3{,}14\times0{,}2^2\times0{,}2=0{,}01256\ m^3\)
\(V_{borne}=0{,}04+0{,}01256=0{,}05256\ m^3\)
Nombre de bornes réalisables avec 1 m³ de béton : \(\dfrac{1}{0{,}05256}\approx19{,}03\)
Nombre maximal de bornes kilométriques : 19
\(V_{pavé}=0{,}2\times0{,}4\times0{,}5=0{,}04\ m^3\)
\(V_{demi\text{-}cylindre}=\dfrac12\times3{,}14\times0{,}2^2\times0{,}2=0{,}01256\ m^3\)
\(V_{borne}=0{,}04+0{,}01256=0{,}05256\ m^3\)
Nombre de bornes réalisables avec 1 m³ de béton : \(\dfrac{1}{0{,}05256}\approx19{,}03\)
Nombre maximal de bornes kilométriques : 19
⚠️ Point de vigilance : ne pas oublier le facteur \(\frac12\) car il s’agit d’un demi-cylindre (et non d’un cylindre complet) ; oublier ce facteur double le volume du dôme et fausse le résultat final.
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