Rappel de cours

L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq |a| < 10\) et \(n \in \mathbb{Z}\).
Règles de calcul sur les puissances de 10 :
\begin{equation}
10^a \times 10^b = 10^{a+b} \qquad \frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b} \qquad (10^a)^b = 10^{a \times b}
\end{equation}

Correction détaillée

\begin{equation}
A = \frac{21 \times 10^{-4} \times 500 \times (10^2)^3}{0{,}7 \times 10^8}
\end{equation}
Simplifions les parties numériques et les puissances de 10 séparément.

Partie numérique :
\begin{equation}
\frac{21 \times 500}{0{,}7} = \frac{10\,500}{0{,}7} = 15\,000
\end{equation}
Partie puissances de 10 :
\begin{equation}
\frac{10^{-4} \times (10^2)^3}{10^8} = \frac{10^{-4} \times 10^{6}}{10^8} = \frac{10^{2}}{10^8} = 10^{2-8} = 10^{-6}
\end{equation}
Donc :
\begin{equation}
A = 15\,000 \times 10^{-6} = 1{,}5 \times 10^{4} \times 10^{-6} = 1{,}5 \times 10^{-2}
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{A = 1{,}5 \times 10^{-2} \quad \Rightarrow \quad \text{Réponse : b)}
}
\end{equation}

Rappel de cours

La moyenne d’une série statistique avec valeurs \(x_i\) et effectifs \(n_i\) est :
\begin{equation}
\bar{x} = \frac{\sum n_i \cdot x_i}{\sum n_i}
\end{equation}

Correction détaillée

Tableau des données :

Taille (cm)	20	21	22	23	24
Effectif \(n_i\)	22	20	28	17	13
\(n_i \cdot x_i\)	440	420	616	391	312

\begin{equation}
\sum n_i = 22 + 20 + 28 + 17 + 13 = 100
\end{equation}
\begin{equation}
\sum n_i x_i = 440 + 420 + 616 + 391 + 312 = 2179
\end{equation}
\begin{equation}
\bar{x} = \frac{2179}{100} = 21{,}79
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{\bar{x} = 21{,}79 \quad \Rightarrow \quad \text{Réponse : a)}}
\end{equation}

Rappel de cours

Pour factoriser une expression du type \(X^2 – X\), on met \(X\) en facteur :
\begin{equation}
X^2 – X = X(X – 1)
\end{equation}
Ici \(X = (5x – 9)\).

Correction détaillée

\begin{equation}
B = (5x-9)^2 – (5x-9)
\end{equation}
On pose \(X = (5x – 9)\) et on factorise par \(X\) :
\begin{equation}
B = X^2 – X = X(X – 1) = (5x-9)\bigl[(5x-9) – 1\bigr] = (5x-9)(5x-10)
\end{equation}
\begin{equation}
= (5x-9) \times 5(x – 2) = 5(5x-9)(x-2)
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{B = 5(5x-9)(x-2) \quad \Rightarrow \quad \text{Réponse : d)}}
\end{equation}

Rappel de cours

Division de fractions : \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\).
Puissance d’une fraction : \(\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}\).

Correction détaillée

\begin{equation}
A = \frac{3}{4} + \frac{5}{2} \div \frac{5}{6} – 2\left(\frac{3}{2}\right)^2
\end{equation}
On respecte les priorités opératoires : division et puissance avant l’addition.

Calcul de la division :
\begin{equation}
\frac{5}{2} \div \frac{5}{6} = \frac{5}{2} \times \frac{6}{5} = \frac{30}{10} = 3
\end{equation}
Calcul de la puissance :
\begin{equation}
2\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2 \times \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}
\end{equation}
Donc :
\begin{equation}
A = \frac{3}{4} + 3 – \frac{9}{2} = \frac{3}{4} + \frac{12}{4} – \frac{18}{4} = \frac{3 + 12 – 18}{4} = \frac{-3}{4}
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{A = -\frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \text{Réponse : c)}}
\end{equation}

Question n°	1	2	3	4
Réponse juste	b	a	d	c

Rappel de cours

Identité remarquable :
\begin{equation}
(a+b)(a-b) = a^2 – b^2
\end{equation}

Correction détaillée

\begin{equation}
C = (3\sqrt{2}+2)(3\sqrt{2}-2)
\end{equation}
On applique l’identité \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) avec \(a = 3\sqrt{2}\) et \(b = 2\) :
\begin{equation}
C = (3\sqrt{2})^2 – 2^2 = 9 \times 2 – 4 = 18 – 4 = 14
\end{equation}
14 est bien un entier naturel.

\begin{equation}
\boxed{C = 14 \in \mathbb{N} \quad \Rightarrow \quad \textbf{VRAI}}
\end{equation}

Correction détaillée

On part de l’encadrement donné :
\begin{equation}
2{,}23 < \sqrt{5} < 2{,}24
\end{equation}
On multiplie par \(-1\) (inégalités inversées) :
\begin{equation}
-2{,}24 < -\sqrt{5} < -2{,}23
\end{equation}
On ajoute 3 :
\begin{equation}
3 – 2{,}24 < 3 – \sqrt{5} < 3 – 2{,}23
\end{equation}
\begin{equation}
0{,}76 < 3 – \sqrt{5} < 0{,}77
\end{equation}
L'affirmation est exacte.

\begin{equation}
\boxed{0{,}76 < 3 – \sqrt{5} < 0{,}77 \quad \Rightarrow \quad \textbf{VRAI}}
\end{equation}

N° de l’affirmation	1	2
Réponse juste	V	V

Rappel de cours

L’algorithme d’Euclide repose sur le principe : \(\text{pgcd}(a, b) = \text{pgcd}(b, r)\) où \(r\) est le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\). On répète jusqu’au reste nul ; le dernier diviseur non nul est le PGCD.

Question 1 — Montrons que pgcd(378 ; 270) = 54

\begin{equation}
378 = 1 \times 270 + 108
\end{equation}
\begin{equation}
270 = 2 \times 108 + 54
\end{equation}
\begin{equation}
108 = 2 \times 54 + 0
\end{equation}
Le reste est nul, donc le dernier diviseur non nul est 54.

\begin{equation}
\boxed{\text{pgcd}(378\,;\,270) = 54}
\end{equation}

Question 2 — Application à la kermesse

Le plus grand nombre de lots identiques utilisant toutes les cannettes est le PGCD des deux quantités.

a) Nombre de lots :
\begin{equation}
\text{Nombre de lots} = \text{pgcd}(378\,;\,270) = 54
\end{equation}
b) Composition de chaque lot :
\begin{equation}
\text{Cannettes de jus par lot} = \frac{378}{54} = 7 \quad \text{cannettes de jus}
\end{equation}
\begin{equation}
\text{Cannettes de bière par lot} = \frac{270}{54} = 5 \quad \text{cannettes de bière}
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{\text{54 lots identiques, chacun composé de 7 cannettes de jus et 5 cannettes de bière}}
\end{equation}

Rappel de cours

Réciproque du théorème de Pythagore : si dans un triangle \(a^2 + b^2 = c^2\) (où \(c\) est le plus grand côté), alors le triangle est rectangle en l’angle opposé à \(c\).

Théorème de Thalès : si \(E \in [AB]\) et \(F \in [AC]\) avec \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\), alors \((EF) \parallel (BC)\).

Aire d’un trapèze :
\begin{equation}
\mathcal{A} = \frac{(EF + BC) \times h}{2}
\end{equation}
où \(h\) est la hauteur (distance entre les deux bases parallèles).

Question 1 — Démontrer que ABC est rectangle en B

On vérifie la réciproque de Pythagore. Le plus grand côté est \(AC = 7{,}5\) cm.
\begin{equation}
AB^2 + BC^2 = (4{,}5)^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25
\end{equation}
\begin{equation}
AC^2 = (7{,}5)^2 = 56{,}25
\end{equation}
\begin{equation}
AB^2 + BC^2 = AC^2 = 56{,}25
\end{equation}
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

\begin{equation}
\boxed{AB^2 + BC^2 = AC^2 \quad \Rightarrow \quad \text{ABC est rectangle en B}}
\end{equation}

Question 2 — Points E et F ; démontrer que (EF) ∥ (BC)

On a \(AE = 1{,}5\) cm, \(AB = 4{,}5\) cm, \(AF = 2{,}5\) cm, \(AC = 7{,}5\) cm.

a) Placement de E et F : E est sur [AB] à 1,5 cm de A ; F est sur [AC] à 2,5 cm de A.

b) Démontrons que (EF) ∥ (BC) :
\begin{equation}
\frac{AE}{AB} = \frac{1{,}5}{4{,}5} = \frac{1}{3}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{AF}{AC} = \frac{2{,}5}{7{,}5} = \frac{1}{3}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{1}{3}
\end{equation}
D’après la réciproque du théorème de Thalès, E et F étant sur les côtés [AB] et [AC] du triangle ABC, et les rapports étant égaux, les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

\begin{equation}
\boxed{\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad (EF) \parallel (BC)}
\end{equation}

Question 3 — Calcul de EF et aire du trapèze EBCF

Calcul de EF : Par le théorème de Thalès (ou par homothétie de rapport \(\frac{1}{3}\)) :
\begin{equation}
\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad EF = \frac{BC}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ cm}
\end{equation}
Aire du trapèze EBCF :
EBCF est un trapèze de bases \(EF = 2\) cm et \(BC = 6\) cm, et de hauteur \(BE\) (distance entre les parallèles).
La hauteur du trapèze est \(BE = AB – AE = 4{,}5 – 1{,}5 = 3\) cm (car ABC est rectangle en B, donc \(BE\) est perpendiculaire à la base).
\begin{equation}
\mathcal{A}_{EBCF} = \frac{(EF + BC) \times BE}{2} = \frac{(2 + 6) \times 3}{2} = \frac{8 \times 3}{2} = 12 \text{ cm}^2
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{EF = 2 \text{ cm} \quad \text{et} \quad \mathcal{A}_{EBCF} = 12 \text{ cm}^2}
\end{equation}

⚠️ Mise en garde : La hauteur du trapèze EBCF est bien \(BE = 3\) cm uniquement parce que le triangle ABC est rectangle en B, ce qui rend \(AB \perp BC\). Si ABC n’était pas rectangle en B, il faudrait calculer la hauteur autrement.

Rappel de cours

Une droite d’équation \(ax + by + c = 0\) a un coefficient directeur \(m = -\frac{a}{b}\) (si \(b \neq 0\)).
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur et des ordonnées à l’origine différentes.
La solution d’un système linéaire \(2\times2\) correspond au point d’intersection des deux droites correspondantes.

Question 1 — Association droites / équations cartésiennes

Les trois équations sont : \(2x – y – 2 = 0\) ; \(x + 2y + 2 = 0\) ; \(2x – y + 2 = 0\).

On les réécrit sous forme \(y = mx + p\) :
— \(2x – y – 2 = 0 \Rightarrow y = 2x – 2\) : pente 2, ordonnée à l’origine \(-2\)
— \(2x – y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2x + 2\) : pente 2, ordonnée à l’origine \(+2\)
— \(x + 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x – 1\) : pente \(-\frac{1}{2}\)

Par lecture graphique :
— \((D_1)\) coupe l’axe des ordonnées en \(-2\) avec pente positive → \(2x – y – 2 = 0\)
— \((D_2)\) coupe l’axe des ordonnées en \(+2\) avec pente positive → \(2x – y + 2 = 0\)
— \((D_3)\) a une pente négative → \(x + 2y + 2 = 0\)

\begin{equation}
\boxed{(D_1) : 2x – y – 2 = 0 \quad ; \quad (D_2) : 2x – y + 2 = 0 \quad ; \quad (D_3) : x + 2y + 2 = 0}
\end{equation}

Question 2 — Coefficients directeurs de (D₁) et (D₂) ; parallélisme

\begin{equation}
(D_1) : y = 2x – 2 \quad \Rightarrow \quad m_1 = 2
\end{equation}
\begin{equation}
(D_2) : y = 2x + 2