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Correction du Contrôle N°1 – Première C – Collège F.-X. VOGT – Septembre 2022
PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES (15 points)
EXERCICE 1 (06,75 points)
1) a) Montrer que \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2} \)
★ Méthode
On cherche à écrire \( 3 + 2\sqrt{2} \) sous la forme \( (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \).
On cherche à écrire \( 3 + 2\sqrt{2} \) sous la forme \( (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \).
\[3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = 1^2 + (\sqrt{2})^2 + 2 \times 1 \times \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2\]
Donc \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = |1 + \sqrt{2}| \). Comme \( 1+\sqrt{2}>0 \) :
■ Résultat
\[\boxed{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}}\]
\[\boxed{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}}\]
1) b) Résoudre dans \( \mathbb{R} \) :
\( (E) : 4x^2 + 2(1-\sqrt{2})x – \sqrt{2} = 0 \) et \( (I) : 4x^2 + 2(1-\sqrt{2})x – \sqrt{2} \leq 0 \)
✔ Correction détaillée
\( a = 4 \), \( b = 2(1-\sqrt{2}) \), \( c = -\sqrt{2} \).
\[\Delta = b^2 – 4ac = 4(1-\sqrt{2})^2 – 4 \times 4 \times (-\sqrt{2})\]
Calculons \( (1-\sqrt{2})^2 = 3 – 2\sqrt{2} \) :
\[\Delta = 4(3-2\sqrt{2}) + 16\sqrt{2} = 12 – 8\sqrt{2} + 16\sqrt{2} = 12 + 8\sqrt{2} = 4(3+2\sqrt{2})\]
D’après 1)a), \( \sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2} \), donc :
\[\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 2(1+\sqrt{2})\]
Les solutions sont :
\[x_1 = \frac{-2(1-\sqrt{2}) – 2(1+\sqrt{2})}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}\]
\[x_2 = \frac{-2(1-\sqrt{2}) + 2(1+\sqrt{2})}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\( a = 4 \), \( b = 2(1-\sqrt{2}) \), \( c = -\sqrt{2} \).
\[\Delta = b^2 – 4ac = 4(1-\sqrt{2})^2 – 4 \times 4 \times (-\sqrt{2})\]
Calculons \( (1-\sqrt{2})^2 = 3 – 2\sqrt{2} \) :
\[\Delta = 4(3-2\sqrt{2}) + 16\sqrt{2} = 12 – 8\sqrt{2} + 16\sqrt{2} = 12 + 8\sqrt{2} = 4(3+2\sqrt{2})\]
D’après 1)a), \( \sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2} \), donc :
\[\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 2(1+\sqrt{2})\]
Les solutions sont :
\[x_1 = \frac{-2(1-\sqrt{2}) – 2(1+\sqrt{2})}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}\]
\[x_2 = \frac{-2(1-\sqrt{2}) + 2(1+\sqrt{2})}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
■ Résultat
\[\boxed{S_E = \left\{-\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}}\]
Comme \( a=4>0 \), le trinôme est négatif (ou nul) entre les racines :
\[\boxed{S_I = \left[-\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]}\]
\[\boxed{S_E = \left\{-\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}}\]
Comme \( a=4>0 \), le trinôme est négatif (ou nul) entre les racines :
\[\boxed{S_I = \left[-\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]}\]
2) Résoudre dans \( \mathbb{R} \)
a) \( (E_1) : -14x + 13\sqrt{x} + 30 = 0 \)
★ Rappel
Domaine de définition : \( x \geq 0 \).
Domaine de définition : \( x \geq 0 \).
✔ Correction détaillée
On pose \( X = \sqrt{x} \geq 0 \), donc \( x = X^2 \). L’équation devient :
\[14X^2 – 13X – 30 = 0\]
\[\Delta = 169 + 1680 = 1849 = 43^2\]
\[X_1 = \frac{13-43}{28} = -\frac{15}{14} \quad \text{(rejeté, } X\geq0\text{)} \qquad X_2 = \frac{13+43}{28} = 2\]
On garde \( X=2 \), donc \( \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4 \).
Vérification : \( -14(4)+13\sqrt{4}+30 = -56+26+30=0 \) ✓
On pose \( X = \sqrt{x} \geq 0 \), donc \( x = X^2 \). L’équation devient :
\[14X^2 – 13X – 30 = 0\]
\[\Delta = 169 + 1680 = 1849 = 43^2\]
\[X_1 = \frac{13-43}{28} = -\frac{15}{14} \quad \text{(rejeté, } X\geq0\text{)} \qquad X_2 = \frac{13+43}{28} = 2\]
On garde \( X=2 \), donc \( \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4 \).
Vérification : \( -14(4)+13\sqrt{4}+30 = -56+26+30=0 \) ✓
■ Résultat
\[\boxed{S_{E_1} = \{4\}}\]
\[\boxed{S_{E_1} = \{4\}}\]
b) \( (E_2) : 2x^2 – |x| – 15 = 0 \)
✔ Correction détaillée
On pose \( X=|x|\geq0 \), donc \( x^2=X^2 \) :
\[2X^2 – X – 15 = 0\]
\[\Delta = 1+120=121=11^2\]
\[X_1 = \frac{1-11}{4} = -\frac{5}{2} \quad \text{(rejeté)} \qquad X_2 = \frac{1+11}{4} = 3\]
On garde \( X=3 \), donc \( |x|=3 \Rightarrow x=3 \) ou \( x=-3 \).
On pose \( X=|x|\geq0 \), donc \( x^2=X^2 \) :
\[2X^2 – X – 15 = 0\]
\[\Delta = 1+120=121=11^2\]
\[X_1 = \frac{1-11}{4} = -\frac{5}{2} \quad \text{(rejeté)} \qquad X_2 = \frac{1+11}{4} = 3\]
On garde \( X=3 \), donc \( |x|=3 \Rightarrow x=3 \) ou \( x=-3 \).
■ Résultat
\[\boxed{S_{E_2} = \{-3\,;\,3\}}\]
\[\boxed{S_{E_2} = \{-3\,;\,3\}}\]
c) \( (E_3) : \sqrt{4-x} \leq x – 2 \)
★ Rappel
\( \sqrt{A} \leq B \) équivaut à \( \begin{cases} A \geq 0 \\ B \geq 0 \\ A \leq B^2 \end{cases} \)
\( \sqrt{A} \leq B \) équivaut à \( \begin{cases} A \geq 0 \\ B \geq 0 \\ A \leq B^2 \end{cases} \)
✔ Correction détaillée
Domaine : \( 4-x\geq0 \Rightarrow x\leq4 \). Condition \( x-2\geq0 \Rightarrow x\geq2 \).
Sous \( 2\leq x\leq4 \), on élève au carré :
\[4-x \leq (x-2)^2 = x^2-4x+4\]
\[0 \leq x^2-3x = x(x-3)\]
Ce trinôme est positif à l’extérieur des racines 0 et 3 : \( x\leq0 \) ou \( x\geq3 \).
En combinant avec \( 2\leq x\leq4 \) :
Domaine : \( 4-x\geq0 \Rightarrow x\leq4 \). Condition \( x-2\geq0 \Rightarrow x\geq2 \).
Sous \( 2\leq x\leq4 \), on élève au carré :
\[4-x \leq (x-2)^2 = x^2-4x+4\]
\[0 \leq x^2-3x = x(x-3)\]
Ce trinôme est positif à l’extérieur des racines 0 et 3 : \( x\leq0 \) ou \( x\geq3 \).
En combinant avec \( 2\leq x\leq4 \) :
■ Résultat
\[\boxed{S_{E_3} = [3\,;\,4]}\]
\[\boxed{S_{E_3} = [3\,;\,4]}\]
3) On considère \( P(x) = 2x^3 – x^2 – x – 3 \)
a) Montrer que \( P\!\left(\frac{3}{2}\right) = 0 \)
✔ Correction détaillée
\[P\!\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 – \left(\frac{3}{2}\right)^2 – \frac{3}{2} – 3 = \frac{27}{4} – \frac{9}{4} – \frac{6}{4} – \frac{12}{4} = \frac{0}{4} = 0\]
\[P\!\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 – \left(\frac{3}{2}\right)^2 – \frac{3}{2} – 3 = \frac{27}{4} – \frac{9}{4} – \frac{6}{4} – \frac{12}{4} = \frac{0}{4} = 0\]
■ Résultat
\[\boxed{P\!\left(\frac{3}{2}\right) = 0}\]
\[\boxed{P\!\left(\frac{3}{2}\right) = 0}\]
b) Déterminer \( a \), \( b \), \( c \) tels que \( P(x) = \left(x – \frac{3}{2}\right)(ax^2+bx+c) \)
✔ Correction détaillée
On développe et on identifie avec \( P(x) = 2x^3 – x^2 – x – 3 \) :
\[\left(x – \frac{3}{2}\right)(ax^2+bx+c) = ax^3 + \left(b – \frac{3}{2}a\right)x^2 + \left(c – \frac{3}{2}b\right)x – \frac{3}{2}c\]
Par identification :
On développe et on identifie avec \( P(x) = 2x^3 – x^2 – x – 3 \) :
\[\left(x – \frac{3}{2}\right)(ax^2+bx+c) = ax^3 + \left(b – \frac{3}{2}a\right)x^2 + \left(c – \frac{3}{2}b\right)x – \frac{3}{2}c\]
Par identification :
- \( x^3 \) : \( a=2 \)
- \( x^0 \) : \( -\frac{3}{2}c=-3 \Rightarrow c=2 \)
- \( x^2 \) : \( b-\frac{3}{2}\times2=-1 \Rightarrow b=2 \)
Vérification sur le coefficient de \( x \) : \( c-\frac{3}{2}b = 2-3=-1 \) ✓
■ Résultat
\[\boxed{a = 2,\quad b = 2,\quad c = 2}\]
Soit : \( P(x) = \left(x – \dfrac{3}{2}\right)(2x^2+2x+2) \)
\[\boxed{a = 2,\quad b = 2,\quad c = 2}\]
Soit : \( P(x) = \left(x – \dfrac{3}{2}\right)(2x^2+2x+2) \)
c) Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation \( P(x) = 0 \)
✔ Correction détaillée
\( P(x) = 0 \Longleftrightarrow x – \dfrac{3}{2} = 0 \) ou \( 2x^2+2x+2 = 0 \), soit \( x^2+x+1=0 \).
\[\Delta = 1 – 4 = -3 < 0\]
Pas de racine réelle pour ce facteur.
\( P(x) = 0 \Longleftrightarrow x – \dfrac{3}{2} = 0 \) ou \( 2x^2+2x+2 = 0 \), soit \( x^2+x+1=0 \).
\[\Delta = 1 – 4 = -3 < 0\]
Pas de racine réelle pour ce facteur.
■ Résultat
\[\boxed{S = \left\{\frac{3}{2}\right\}}\]
\[\boxed{S = \left\{\frac{3}{2}\right\}}\]
d) En déduire les solutions de \( \dfrac{2x^3-x^2-x-3}{-x^2+9} \geq 0 \)
✔ Correction détaillée
Numérateur : \( P(x) = \left(x-\frac{3}{2}\right)(2x^2+2x+2) \). Comme \( 2x^2+2x+2 > 0 \) toujours, le signe de \( P(x) \) est celui de \( \left(x-\frac{3}{2}\right) \).
Dénominateur : \( -x^2+9 = -(x-3)(x+3) \) : positif entre \(-3\) et \(3\), nul en \( x=\pm3 \) (valeurs interdites).
Numérateur : \( P(x) = \left(x-\frac{3}{2}\right)(2x^2+2x+2) \). Comme \( 2x^2+2x+2 > 0 \) toujours, le signe de \( P(x) \) est celui de \( \left(x-\frac{3}{2}\right) \).
Dénominateur : \( -x^2+9 = -(x-3)(x+3) \) : positif entre \(-3\) et \(3\), nul en \( x=\pm3 \) (valeurs interdites).
| x | -∞ | -3 | 3/2 | 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| Num. P(x) | – | – | 0 | + | + |
| Dén. -x²+9 | – | 0 | + | 0 | – |
| Quotient | + | interdit | 0 | interdit | – |
Détail :
- Sur \( ]-\infty\,;\,-3[ \) : (-)/(-) = + ✓
- Sur \( ]-3\,;\,\frac{3}{2}[ \) : (-)/(+) = – ✗
- Sur \( ]\frac{3}{2}\,;\,3[ \) : (+)/(+) = + ✓
- Sur \( ]3\,;\,+\infty[ \) : (+)/(-) = – ✗
■ Résultat
\[\boxed{S = \,]-\infty\,;\,-3[\; \cup \; \left[\frac{3}{2}\,;\,3\right[}\]
\[\boxed{S = \,]-\infty\,;\,-3[\; \cup \; \left[\frac{3}{2}\,;\,3\right[}\]
4) Sans calculer, préciser le signe de \( P(\pi) \) et \( P\!\left(-\frac{3}{8}\right) \)
★ Justification
Le signe de \( P(x) \) est celui de \( \left(x-\frac{3}{2}\right) \) car \( 2x^2+2x+2>0 \) toujours.
Le signe de \( P(x) \) est celui de \( \left(x-\frac{3}{2}\right) \) car \( 2x^2+2x+2>0 \) toujours.
■ Résultat
\( \pi \approx 3{,}14 > \frac{3}{2} \) donc \[\boxed{P(\pi) > 0}\]
\( -\frac{3}{8} < \frac{3}{2} \) donc \[\boxed{P\!\left(-\frac{3}{8}\right) < 0}\]
\( \pi \approx 3{,}14 > \frac{3}{2} \) donc \[\boxed{P(\pi) > 0}\]
\( -\frac{3}{8} < \frac{3}{2} \) donc \[\boxed{P\!\left(-\frac{3}{8}\right) < 0}\]
EXERCICE 2 (03,25 points)
\( (E) : x^4 + 10x^3 + 26x^2 + 10x + 1 = 0 \)
1) a) Justifier que 0 n’est pas solution de (E)
✔ Correction détaillée
Si \( x=0 \) : \( P(0) = 1 \neq 0 \).
Si \( x=0 \) : \( P(0) = 1 \neq 0 \).
■ Résultat
\[\boxed{0 \text{ n’est pas solution de } (E)}\]
\[\boxed{0 \text{ n’est pas solution de } (E)}\]
b) En déduire que (E) a les mêmes solutions que \( (E’) : x^2+10x+26+\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0 \)
✔ Correction détaillée
Comme \( x\neq0 \), on divise (E) par \( x^2 \) :
\[\boxed{x^2 + 10x + 26 + \frac{10}{x} + \frac{1}{x^2} = 0}\]
Donc (E) et (E’) ont les mêmes solutions.
Comme \( x\neq0 \), on divise (E) par \( x^2 \) :
\[\boxed{x^2 + 10x + 26 + \frac{10}{x} + \frac{1}{x^2} = 0}\]
Donc (E) et (E’) ont les mêmes solutions.
2) On pose \( X = x + \dfrac{1}{x} \)
a) Montrer que \( x^2 + \dfrac{1}{x^2} = X^2 – 2 \)
✔ Correction détaillée
\[X^2 = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\]
\[X^2 = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\]
■ Résultat
\[\boxed{x^2 + \frac{1}{x^2} = X^2 – 2}\]
\[\boxed{x^2 + \frac{1}{x^2} = X^2 – 2}\]
b) Montrer que (E’) équivaut à \( (E ») : X^2+10X+24=0 \)
✔ Correction détaillée
On réécrit (E’) : \( \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) + 10\left(x+\frac{1}{x}\right) + 26 = 0 \).
En remplaçant : \( (X^2-2) + 10X + 26 = 0 \).
On réécrit (E’) : \( \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) + 10\left(x+\frac{1}{x}\right) + 26 = 0 \).
En remplaçant : \( (X^2-2) + 10X + 26 = 0 \).
■ Résultat
\[\boxed{X^2 + 10X + 24 = 0}\]
\[\boxed{X^2 + 10X + 24 = 0}\]
c) Résoudre (E ») et en déduire toutes les solutions de (E)
✔ Correction détaillée
\[\Delta = 100-96=4 \qquad X_1=-6 \qquad X_2=-4\]
Cas \( X=-6 \) : \( x+\frac{1}{x}=-6 \Leftrightarrow x^2+6x+1=0 \)
\[\Delta’=32 \qquad x = \frac{-6\pm4\sqrt{2}}{2} = -3\pm2\sqrt{2}\]
Cas \( X=-4 \) : \( x+\frac{1}{x}=-4 \Leftrightarrow x^2+4x+1=0 \)
\[\Delta »=12 \qquad x = \frac{-4\pm2\sqrt{3}}{2} = -2\pm\sqrt{3}\]
\[\Delta = 100-96=4 \qquad X_1=-6 \qquad X_2=-4\]
Cas \( X=-6 \) : \( x+\frac{1}{x}=-6 \Leftrightarrow x^2+6x+1=0 \)
\[\Delta’=32 \qquad x = \frac{-6\pm4\sqrt{2}}{2} = -3\pm2\sqrt{2}\]
Cas \( X=-4 \) : \( x+\frac{1}{x}=-4 \Leftrightarrow x^2+4x+1=0 \)
\[\Delta »=12 \qquad x = \frac{-4\pm2\sqrt{3}}{2} = -2\pm\sqrt{3}\]
■ Résultat
\[\boxed{S_E = \left\{-3-2\sqrt{2}\,;\,-3+2\sqrt{2}\,;\,-2-\sqrt{3}\,;\,-2+\sqrt{3}\right\}}\]
\[\boxed{S_E = \left\{-3-2\sqrt{2}\,;\,-3+2\sqrt{2}\,;\,-2-\sqrt{3}\,;\,-2+\sqrt{3}\right\}}\]
EXERCICE 3 (05 points)
1) Résoudre dans \( \mathbb{R}^2 \) les systèmes
\( (S_1) : \begin{cases} x^2+y^2=10 \\ xy=-3 \end{cases} \)
★ Méthode
On utilise \( (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy \) et \( (x-y)^2 = x^2+y^2-2xy \).
On utilise \( (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy \) et \( (x-y)^2 = x^2+y^2-2xy \).
✔ Correction détaillée
\[(x+y)^2 = 10+2(-3) = 4 \Rightarrow x+y=\pm2\]
\[(x-y)^2 = 10-2(-3) = 16 \Rightarrow x-y=\pm4\]
On combine les deux possibilités, avec vérification de \( xy=-3 \) :
\[(x+y)^2 = 10+2(-3) = 4 \Rightarrow x+y=\pm2\]
\[(x-y)^2 = 10-2(-3) = 16 \Rightarrow x-y=\pm4\]
On combine les deux possibilités, avec vérification de \( xy=-3 \) :
- \( x+y=2,\,x-y=4 \) : \( x=3,\,y=-1 \) ✓
- \( x+y=2,\,x-y=-4 \) : \( x=-1,\,y=3 \) ✓
- \( x+y=-2,\,x-y=4 \) : \( x=1,\,y=-3 \) ✓
- \( x+y=-2,\,x-y=-4 \) : \( x=-3,\,y=1 \) ✓
■ Résultat
\[\boxed{S_{S_1} = \{(3,-1)\,;\,(-1,3)\,;\,(1,-3)\,;\,(-3,1)\}}\]
\[\boxed{S_{S_1} = \{(3,-1)\,;\,(-1,3)\,;\,(1,-3)\,;\,(-3,1)\}}\]
\( (S_2) : \begin{cases} x^3+y^3=19 \\ x+y=1 \end{cases} \)
★ Rappel
\( x^3+y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y) \)
\( x^3+y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y) \)
✔ Correction détaillée
\[19 = 1 – 3xy \Rightarrow xy = -6\]
\( x \) et \( y \) sont solutions de \( t^2-t-6=0 \) :
\[\Delta=25 \qquad t=\frac{1\pm5}{2} \qquad t_1=3,\;t_2=-2\]
\[19 = 1 – 3xy \Rightarrow xy = -6\]
\( x \) et \( y \) sont solutions de \( t^2-t-6=0 \) :
\[\Delta=25 \qquad t=\frac{1\pm5}{2} \qquad t_1=3,\;t_2=-2\]
■ Résultat
\[\boxed{S_{S_2} = \{(3,-2)\,;\,(-2,3)\}}\]
\[\boxed{S_{S_2} = \{(3,-2)\,;\,(-2,3)\}}\]
2) Polynôme \( P \) de degré 3 tel que \( P(0)=0 \) et \( P(x+1)-P(x)=x^2 \)
a) Calculer \( P(1) \) et \( P(-1) \)
✔ Correction détaillée
Avec \( x=0 \) : \( P(1)-P(0)=0 \Rightarrow P(1)=P(0)=0 \).
Avec \( x=-1 \) : \( P(0)-P(-1)=1 \Rightarrow P(-1)=-1 \).
Avec \( x=0 \) : \( P(1)-P(0)=0 \Rightarrow P(1)=P(0)=0 \).
Avec \( x=-1 \) : \( P(0)-P(-1)=1 \Rightarrow P(-1)=-1 \).
■ Résultat
\[\boxed{P(1) = 0 \qquad P(-1) = -1}\]
\[\boxed{P(1) = 0 \qquad P(-1) = -1}\]
b) Avec \( P(x) = \dfrac{1}{3}x^3+ax^2+bx \), déterminer \( a \) et \( b \)
✔ Correction détaillée
\( P(1)=0 \) : \( \frac{1}{3}+a+b=0 \) (1)
\( P(-1)=-1 \) : \( -\frac{1}{3}+a-b=-1 \) (2)
(1)+(2) : \( 2a=-1 \Rightarrow a=-\frac{1}{2} \)
Dans (1) : \( b = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)
\( P(1)=0 \) : \( \frac{1}{3}+a+b=0 \) (1)
\( P(-1)=-1 \) : \( -\frac{1}{3}+a-b=-1 \) (2)
(1)+(2) : \( 2a=-1 \Rightarrow a=-\frac{1}{2} \)
Dans (1) : \( b = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)
■ Résultat
\[\boxed{a = -\frac{1}{2}\,,\quad b = \frac{1}{6}}\]
Soit : \( P(x) = \dfrac{1}{3}x^3 – \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x \)
\[\boxed{a = -\frac{1}{2}\,,\quad b = \frac{1}{6}}\]
Soit : \( P(x) = \dfrac{1}{3}x^3 – \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x \)
c) Déduire l’expression de \( S(n) = 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 \)
★ Méthode (télescopage)
On somme \( P(x+1)-P(x) = x^2 \) pour \( x=1,\ldots,n \).
On somme \( P(x+1)-P(x) = x^2 \) pour \( x=1,\ldots,n \).
✔ Correction détaillée
\[\sum_{x=1}^{n}\left[P(x+1)-P(x)\right] = \sum_{x=1}^{n} x^2 = S(n)\]
Télescopage : \( P(n+1)-P(1) = S(n) \), et comme \( P(1)=0 \) :
\[S(n) = P(n+1) = \frac{1}{3}(n+1)^3 – \frac{1}{2}(n+1)^2 + \frac{1}{6}(n+1)\]
On factorise par \( (n+1) \), au même dénominateur 6 :
\[\frac{1}{3}(n+1)^2 – \frac{1}{2}(n+1) + \frac{1}{6} = \frac{2(n+1)^2-3(n+1)+1}{6}\]
Avec \( u=n+1 \) : \( 2u^2-3u+1=(2u-1)(u-1) \), soit \( (2n+1)\times n \).
\[S(n) = (n+1) \times \frac{n(2n+1)}{6}\]
\[\sum_{x=1}^{n}\left[P(x+1)-P(x)\right] = \sum_{x=1}^{n} x^2 = S(n)\]
Télescopage : \( P(n+1)-P(1) = S(n) \), et comme \( P(1)=0 \) :
\[S(n) = P(n+1) = \frac{1}{3}(n+1)^3 – \frac{1}{2}(n+1)^2 + \frac{1}{6}(n+1)\]
On factorise par \( (n+1) \), au même dénominateur 6 :
\[\frac{1}{3}(n+1)^2 – \frac{1}{2}(n+1) + \frac{1}{6} = \frac{2(n+1)^2-3(n+1)+1}{6}\]
Avec \( u=n+1 \) : \( 2u^2-3u+1=(2u-1)(u-1) \), soit \( (2n+1)\times n \).
\[S(n) = (n+1) \times \frac{n(2n+1)}{6}\]
■ Résultat
\[\boxed{S(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\]
(formule classique de la somme des carrés des n premiers entiers)
\[\boxed{S(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\]
(formule classique de la somme des carrés des n premiers entiers)
3) Valeurs de \( m \) pour lesquelles \( (E_m) : x^2+6x+5-2m=0 \) admet deux solutions négatives
★ Rappel
Pour deux solutions négatives, il faut : \( \Delta\geq0 \), somme \( S=-\frac{b}{a}<0 \), produit \( P=\frac{c}{a}>0 \).
Pour deux solutions négatives, il faut : \( \Delta\geq0 \), somme \( S=-\frac{b}{a}<0 \), produit \( P=\frac{c}{a}>0 \).
✔ Correction détaillée
\( a=1,\,b=6,\,c=5-2m \).
Δ ≥ 0 : \( 16+8m\geq0 \Rightarrow m\geq-2 \)
S < 0 : \( S=-6<0 \), toujours vraie.
P > 0 : \( 5-2m>0 \Rightarrow m<\frac{5}{2} \)
\( a=1,\,b=6,\,c=5-2m \).
Δ ≥ 0 : \( 16+8m\geq0 \Rightarrow m\geq-2 \)
S < 0 : \( S=-6<0 \), toujours vraie.
P > 0 : \( 5-2m>0 \Rightarrow m<\frac{5}{2} \)
■ Résultat
\[\boxed{m \in \left[-2\,;\,\frac{5}{2}\right[}\]
\[\boxed{m \in \left[-2\,;\,\frac{5}{2}\right[}\]
PARTIE B : EVALUATION DES COMPÉTENCES (05 points)
Situation : M. BAWA accorde à M. KAM une réduction de \( x% \), puis une réduction supplémentaire de \( y% \) le jour des soldes. L’ordinateur étiqueté à 500 000 FCFA est finalement acheté à 360 000 FCFA, avec \( x+y=30 \) et \( x
1) Somme que devrait débourser M. KAM sans la réduction supplémentaire \( y% \)
★ Mise en équation
\[500\,000\left(1-\frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{y}{100}\right) = 360\,000\]
\[500\,000\left(1-\frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{y}{100}\right) = 360\,000\]
✔ Correction détaillée
On pose \( X=\frac{x}{100} \), \( Y=\frac{y}{100} \), avec \( X+Y=0{,}3 \).
\[(1-X)(1-Y)=0{,}72 \Rightarrow 1-0{,}3+XY=0{,}72 \Rightarrow XY=0{,}02\]
\( X \) et \( Y \) solutions de \( t^2-0{,}3t+0{,}02=0 \) :
\[\Delta=0{,}01 \qquad t_1=0{,}1 \qquad t_2=0{,}2\]
Comme \( xSomme sans la réduction \( y% \) (seulement \( x=10% \)) :
\[500\,000 \times 0{,}9 = 450\,000\]
On pose \( X=\frac{x}{100} \), \( Y=\frac{y}{100} \), avec \( X+Y=0{,}3 \).
\[(1-X)(1-Y)=0{,}72 \Rightarrow 1-0{,}3+XY=0{,}72 \Rightarrow XY=0{,}02\]
\( X \) et \( Y \) solutions de \( t^2-0{,}3t+0{,}02=0 \) :
\[\Delta=0{,}01 \qquad t_1=0{,}1 \qquad t_2=0{,}2\]
Comme \( xSomme sans la réduction \( y% \) (seulement \( x=10% \)) :
\[500\,000 \times 0{,}9 = 450\,000\]
■ Résultat
\[\boxed{\text{M. KAM devrait débourser } 450\,000 \text{ FCFA}}\]
\[\boxed{\text{M. KAM devrait débourser } 450\,000 \text{ FCFA}}\]
2) Chiffre d’affaires de M. ETONG en novembre 2021
✔ Correction détaillée
\[200\,000\left(1+\frac{t}{100}\right)\left(1+\frac{t+10}{100}\right) = 312\,000\]
Posons \( u=1+\frac{t}{100} \) :
\[u^2+0{,}1u-1{,}56=0 \qquad \Delta=6{,}25 \qquad u=\frac{-0{,}1\pm2{,}5}{2}\]
\( u_1=-1{,}3 \) rejeté, \( u_2=1{,}2 \Rightarrow t=20 \).
CA novembre :
\[200\,000 \times 1{,}2 = 240\,000\]
\[200\,000\left(1+\frac{t}{100}\right)\left(1+\frac{t+10}{100}\right) = 312\,000\]
Posons \( u=1+\frac{t}{100} \) :
\[u^2+0{,}1u-1{,}56=0 \qquad \Delta=6{,}25 \qquad u=\frac{-0{,}1\pm2{,}5}{2}\]
\( u_1=-1{,}3 \) rejeté, \( u_2=1{,}2 \Rightarrow t=20 \).
CA novembre :
\[200\,000 \times 1{,}2 = 240\,000\]
■ Résultat
\[\boxed{\text{CA novembre 2021} = 240\,000 \text{ FCFA}}\]
\[\boxed{\text{CA novembre 2021} = 240\,000 \text{ FCFA}}\]
3) Montant pour clôturer le terrain
✔ Étape 1 — Dimensions du terrain
\( L\ell=360 \) et \( (L+6)(\ell+6)=630 \).
\[(L+6)(\ell+6) = 360+6(L+\ell)+36 = 630 \Rightarrow L+\ell=39\]
\( L,\ell \) solutions de \( t^2-39t+360=0 \) :
\[\Delta=81 \qquad t_1=15 \qquad t_2=24\]
Dimensions : \( 24\,\text{m}\times15\,\text{m} \).
\( L\ell=360 \) et \( (L+6)(\ell+6)=630 \).
\[(L+6)(\ell+6) = 360+6(L+\ell)+36 = 630 \Rightarrow L+\ell=39\]
\( L,\ell \) solutions de \( t^2-39t+360=0 \) :
\[\Delta=81 \qquad t_1=15 \qquad t_2=24\]
Dimensions : \( 24\,\text{m}\times15\,\text{m} \).
✔ Étape 2 — Résoudre \( 4+\sqrt{n-2}=n \)
Domaine \( n\geq2 \). \( \sqrt{n-2}=n-4 \), condition \( n\geq4 \). On élève au carré :
\[n-2=(n-4)^2 \Rightarrow n^2-9n+18=0\]
\[\Delta=9 \qquad n_1=3 \text{ (rejeté)} \qquad n_2=6\]
Vérification : \( 4+\sqrt{6-2}=4+2=6 \) ✓
Domaine \( n\geq2 \). \( \sqrt{n-2}=n-4 \), condition \( n\geq4 \). On élève au carré :
\[n-2=(n-4)^2 \Rightarrow n^2-9n+18=0\]
\[\Delta=9 \qquad n_1=3 \text{ (rejeté)} \qquad n_2=6\]
Vérification : \( 4+\sqrt{6-2}=4+2=6 \) ✓
✔ Étape 3 — Montant total
Périmètre \( =2(L+\ell)=78 \) m. Avec deux rangées de fils :
\[2 \times 78 = 156 \text{ m}\]
Prix unitaire : \( \frac{7\,650}{6}=1\,275 \) FCFA/m.
\[156 \times 1\,275 = 198\,900\]
Périmètre \( =2(L+\ell)=78 \) m. Avec deux rangées de fils :
\[2 \times 78 = 156 \text{ m}\]
Prix unitaire : \( \frac{7\,650}{6}=1\,275 \) FCFA/m.
\[156 \times 1\,275 = 198\,900\]
■ Résultat
\[\boxed{\text{Montant total} = 198\,900 \text{ FCFA}}\]
\[\boxed{\text{Montant total} = 198\,900 \text{ FCFA}}\]
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